Вовченко Н. Г., Варяничко М. А., Нагорный Д. В. НДС пластин при изгибе на основе неклассической итерационной теории // Международный научный журнал "Интернаука". - 2019. - №4.
Технические науки
УДК 539.3
Вовченко Николай Григорьевич
кандидат технических наук, доцент,
доцент кафедры строительной механики и сопротивления материалов
Приднепровская Государственная академия
строительства и архитектуры
Vovchenko Nikolay
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor,
Associate Professor at the Department of
Structural Mechanics and Resistance of Materials
Pridneprovsk State Academy of Civil Engineering and Architecture
Варяничко Марина Александровна
кандидат технических наук, доцент,
доцент кафедры строительной механики и сопротивления материалов
Приднепровская Государственная академия
строительства и архитектуры
Varyanichko Marina
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor,
Associate Professor at the Department of
Structural Mechanics and Resistance of Materials
Pridneprovsk State Academy of Civil Engineering and Architecture
Нагорный Дмитрий Валерьевич
кандидат технических наук, доцент,
доцент кафедры строительной механики и сопротивления материалов
Приднепровская Государственная академия
строительства и архитектуры
Nagornу Dmitry
Candidate of Technical Sciences, Associate Professor,
Associate Professor at the Department of
Structural Mechanics and Resistance of Materials
Pridneprovsk State Academy of Civil Engineering and Architecture
НДС ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБЕ НА ОСНОВЕ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ИТЕРАЦИОННОЙ ТЕОРИИ
THE INVESTIGATION OF THE STRESS-STRAIN STATE OF THE PLATES AT THE BENDING USING NONCLASSICAL ITERATION THEORY
Аннотация. Построено решение задачи об изгибе пластины под действием локальной и синусоидальной нагрузок на основе итерационной теории, учитывающей все компоненты напряженно-деформированного состояния.
Ключевые слова: пластина, напряженно-деформированное состояние, локальная нагрузка.
Summary. The solution of the problem of the bending of a plate under the action of local and sinusoidal loads is proposed on the basis of an iterative theory that takes into account all the components of the stress-strain state.
Key words: plate, stress-strain state; local loading.
В настоящей работе при решении задачи использовались уравнения уточнённой теории [1], учитывающей поперечные деформации сдвига, нелинейный закон изменения напряжений по толщине. Зависимости между деформациями и перемещениями для трансверсально-изотропной пластины принимались в соответствии с известными соотношениями Коши.
Для получения основных соотношений, уравнений и условий на контуре использовалось вариационное уравнение Рейсснера.
(1)
В (1) составляющие поверхностных сил, -площадь лицевых и боковых поверхностей пластины.
В [1] компоненты напряжений и компоненты перемещений u, v, w принимались в виде рядов. Использовался метод разложений по толщинной координате с применением полиномов Лежандра.
(2)
где - полиномы Лежандра, -толщина пластины, q(x,y)-поперечная нагрузка.
Функции и все компоненты напряжений выражаются согласно [2] через перемещения. Напряжения удовлетворяют условиям на лицевых плоскостях пластины при
Все компоненты напряжений выражаются через перемещения [2].
Из вариационного уравнения (1) система уравнений равновесия пластин в перемещениях записывается в виде
(3)
(4)
(5)
(6)
Здесь
Условия на контуре могут быть получены из (1).
где - составляющие поверхностных сил, приложенных к боковой поверхности, интегрирование проводится по толщине.
Система уравнений (3), (4) сводится к следующей системе уравнений
(7)
(8)
(9)
В уравнении (7) -вихревая функция, через которую выражаются.
(10)
Из (5) и (6) определяем.
(11)
где
Подставляя в (8) и (9), получаем систему уравнений в перемещениях для определения потенциального напряженного состояния пластины.
(12)
где - дифференциальные операторы, здесь не приводятся.
Таким образом, решение задачи об изгибе пластины свелось к определению из системы уравнений (12), описывающей потенциальное напряженное состояние, и уравнения (7), определяющего вихревое напряженное состояние (вихревой краевой эффект).
При этом определяются через из (11), (10), (3), (4).
В качестве примеров рассмотрены задачи изгиба прямоугольных, свободно опертых по контуру пластин, под действием поперечных нагрузок:
Нагрузка принималась в виде ряда:
m, n - нечетные числа от 1 до 39 при действии локальной нагрузки.
m=n=1 при действии синусоидальной нагрузки по всей проекции пластины.
Результаты расчётов приведены в таблицах.
Таблица 1
Действие локальной нагрузки на свободно опёртую трансверсально - изотропную пластину (α/a=0,3, x=y=0,5a)
Таблица 2
Действие локальной нагрузки на свободно опёртую изотропную пластину
The effect of local load on a freely supported isotropic plate
α/a=0,3, x=y=0,5a, z/h=0,5
Таблица 3
Действие синусоидальной нагрузки на свободно опёртую изотропную пластину
The effect of a sinusoidal load on a freely supported isotropic plate
α/a=1, x=y=0,5a, z/h=0,5
Выводы. По результатам расчёта пластин из анизотропного материала установлено, что податливость материала в значительной мере влияет на НДС пластин. С ростом податливости материала и увеличением толщины распределение по толщине напряжений существенно отличается от линейных.
Результаты расчетов пластин из изотропного материала при действии поперечной как синусоидальной, так и локальной нагрузок для тонких пластин хорошо согласуются с решениями трехмерной теории упругости [3], что свидетельствует о хорошей точности решений в рамках рассматриваемой неклассической теории.
Установлено, что увеличение толщин пластины при действии как синусоидальной, так и локальной нагрузок с увеличением их толщин требует решений в высоких приближениях настоящей итерационной теории.
Литература
