Аннотация: Работа посвящена изучению некоторых свойств решения почти всюду одномерной смешанной задачи для одного класса полулинейных уравнений четвёртого порядка. Введено понятие решения почти всюду изучаемой смешанной задачи. В работе стандартным методом, т.е. умножением рассматриваемого уравнения на подходящую функцию и последующим соответствующим почленным интегрированием (включая некоторые интегрирования по частям), доказывается теорема об априорной ограниченности решения почти всюду рассматриваемой смешанной задачи.
Ключевые слова: полулинейное уравнение, смешанная задача, решение почти всюду, априорная оценка.
Математические науки
УДК 517.946
Алиева Арзу Гамбар кызы
старший научный сотрудник
отдела дифференциальных уравнений института
Математики и Механики Национальной
Академии Азербайджана
Aliyeva Arzu Qambar kizi
departament of differential equations institute
of Mathematics and Mechanics Azerbaijan National Academy of Sciences
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПОЛУЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА
STUDY OF SOLUTION OF MIXED PROBLEM FOR ONE CLASS OF SEMI-LINEAR FOURTH ORDER EQUATIONS
Аннотация: Работа посвящена изучению некоторых свойств решения почти всюду одномерной смешанной задачи для одного класса полулинейных уравнений четвёртого порядка. Введено понятие решения почти всюду изучаемой смешанной задачи. В работе стандартным методом, т.е. умножением рассматриваемого уравнения на подходящую функцию и последующим соответствующим почленным интегрированием (включая некоторые интегрирования по частям), доказывается теорема об априорной ограниченности решения почти всюду рассматриваемой смешанной задачи.
Ключевые слова: полулинейное уравнение, смешанная задача, решение почти всюду, априорная оценка.
Summary: This work is dedicated to the study of almost everywhere solution of one-dimensional mixed problem for one class of semi-linear fourth order equations. Conception of almost everywhere solution for mixed problem under consideration is introduced. In the conventional method, i.e. multiplication of the equation on the right function and subsequent relevant term by term integration (including some integration by parts), a theorem on a priori estimation of the solution almost everywhere under consideration of the mixed problem.
Key words: semi-linear equation, mixed problem, almost everywhere solution, a priori estimate.
В работе изучаются некоторые свойства решения почти всюду следующей одномерной смешанной задачи:
где - фиксированное число; - заданные функции, а - искомая функция, причём под решением почти всюду задачи (1)-(3) понимаем следующее
Определение. Под решением почти всюду задачи (1)-(3) понимаем функцию , обладающую свойствами:
а)
б) все условия (2) и (3) удовлетворяются в обычном смысле;
в) уравнение (1) удовлетворяется почти всюду в .
В работе [1] автора и К.И.Худавердиева исследовано существование классического решения одномерной смешанной задачи для некоторого полулинейного уравнения, которое более проще, чем уравнение (1). А в работе [2] исследовано обобщенное решение рассматриваемой смешанной задачи.
Умножением рассматриваемого уравнения на подходящую функцию и последующим соответствующим почленным интегрированием, доказывается следующая теорема об априорной ограниченности (в определенных смыслах) решения почти всюду рассматриваемой смешанной задачи.
Теорема. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид:
(4)
причём:
а)
(5)
б)
(6)
где - постоянная, а - число, фигурирующее в уравнении (1).
Тогда для всевозможных решений почти всюду задачи (1)-(3) справедливы априорные оценки:
(7)
Доказательство. Пусть - любое решение почти всюду задачи (1)-(3). Умножим обе части уравнения (1) на функцию и проинтегрируем полученное равенство по от до :
(8)
Далее, пользуясь двумя последними граничными условиями (3) и условием (6), получаем, что :
(9)
(10)
(11)
(12)
Теперь, подставив (9)-(12) в (8), интегрируя полученное неравенство по от до и пользуясь начальным условием (2), получаем, что :
следовательно
(13)
Далее, так как, то существует такая точка, что. Тогда очевидно, что и :
(14)
(15)
С другой стороны, пользуясь соотношением, получаем, что и :
(16)
(17)
Тогда из (16) и (17), в силу (15), следует, что и:
(18)
(19)
Теперь, пользуясь обозначением и оценками (19), (15) в правой части (13), из (13) получаем, что:
(20)
Тогда, в силу, очевидно, что:
Отсюда, применив неравенство Беллмана, получаем, что:
(21)
С другой стороны, из (20), пользуясь априорной оценкой (21), получаем, что:
Следовательно
(22)
Таким образом, из (21) и (22) следует справедливость априорных оценок (7). Теорема доказана.
Следствие. Из первой априорной оценки (7), в силу оценок (18) и (14), следует справедливость априорных оценок:
В заключении отметим, что данная работа является продолжением работы [3], в котором изучена априорная ограниченность (в определенном смысле) решения почти всюду рассматриваемой смешанной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
