В статье рассматривается анализ влияния погрешностей вычисления собственных векторов на качество выбора методом анализа иерархий.
Секция: Физико-математические науки
САЛИКОВ ВАЛЕНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ
Канд. техн. наук , доцент кафедры АСОИ
Днепропетровский национальный университет
г. Днепропетровск, Украина
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ НА КАЧЕСТВО ВЫБОРА МЕТОДОМ АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
При осуществлении выбора по методу трёхуровневой иерархий на её нижнем уровне лицом, принимающим решение (ЛПР), формируется n матриц попарных сравнений альтернатив A1, А2, …Aj, …An размерности m*m по каждому из n критериев среднего (2-ого) уровня иерархии. На этом уровне ЛПР формирует одну матрицу размерности n*n, отображающую совокупность его предпочтений на множестве из n критериев. Результаты попарных сравнений оцениваются по шкале Вебера так, что образуются матрицы, обладающие свойством симметричности. Процедура иерархического выбора предполагает вычисление собственных векторов и для всех полученных матриц, а также максимальных собственных чисел и этих матриц. При этом должны соблюдаться соотношения:(1)
В случае, если и , то все матрицы A и Ai абсолютно согласованы по транзитивности предпочтений и можно вычислить вектор глобальных приоритетов : (2)
Выполнив операцию выбирают j-ую альтернативу, наилучшим образом удовлетворяющую ЛПР по совокупности его предпочтений.
Результатам выбора по (2) можно доверять, если все собственные векторы вычислены принципиально точно, например, по методу А.М. Данилевского [2]. Однако, представляет практический интерес возможность использования более простых, но приближенных алгоритмов вычисления собственных векторов матриц. Известны следующие приближенные методы вычисления компонента собственного вектора для матрицы A = [1]:
Если исключить влияние на точность определения вектора глобальных приоритетов фактора, обусловленного степенью согласованности матриц A и Ai , то единственным источником погрешностей вычисления вектора станут ошибки вычисления собственных векторов и по формулам (3)-(6).
Очевидно, рассматриваемая задача не может быть решена в общем виде и требуется применить компьютерное моделирование. Особый интерес представляет случай слабо различимых альтернатив, когда .
Для проведения численных расчетов следует решить вопрос о достаточной размерности матриц A и Ai, участвующих в процедуре выбора, и обеспечить абсолютную согласованность. Последнее условие можно выполнить, если на этапе формирования обратно симметричной матрицы A= [] руководствоваться требованием транзитивности предпочтений:
(7) т.е. по субъективным соображениям назначать по шкале "1-9" элементы и , но величину определять расчетным путем по (7). Как показано в [1], для такой матрицы [] оценка согласованности ОС=0%.
По соображениям удобства демонстрации полученных данных для численного моделирования выбраны n=6 и m=5. Можно надеяться, что использованные для моделирования матрицы A и Ai () средней размерности не ограничивает общности полученных результатов.
Результаты численного анализа приведены ниже:
Эксперимент 1. Оценки согласованности: ОС40%, ОС40% ()
Эксперимент 2. Матрицы A и Ai сверх транзитивны (ОС 0%)
Выводы:
Литература: