Анотація. В статті розглядається моделювання валового внутрішнього продукту України.
Лаврій Богдан Петрович
студент Інституту прикладного системного аналізу,
НТУУ «КПІ», м. Київ
Lavrii Bogdan
student at the Institute for Applied System Analysis,
NTUU “KPI”, Kyiv
Науковий керівник: д.т.н., професор Бідюк П.І.
МОДЕЛЮВАННЯ ВАЛОВОГО ВНУТРІШНЬОГО ПРОДУКТУ УКРАЇНИ
Вступ. В час коли економіка кожної окремої країни сильно залежить також від багатьох інших країн, коли кожна з національних економік є дуже складною непросто навіть точно оцінити її розмір, не кажучи вже про прогнозування. Тому багато дослідників зосереджують свою увагу на покращенні методології прогнозування, знаходженні нових підходів та якнайкращому використанні вже відомих для розв’язання цієї проблеми.
Серед українських дослідників питаннями моделювання займаються О. М. Семененко, Р. В. Бойко, О. Г. Водчиць та інші [1].
Моделювання є важливим засобом розв’язання багатьох економічних завдань. Наприклад, вирішення питань видатків державного бюджету та їх вплив на внутрішньо-валовий продукт. Широко застосовується для вирішення задач біології та екології: екологічні прогнози, дослідження антропогенного впливу на навколишнє середовище, моделі походження життя.
Мета цього дослідження – побудувати адекватну модель ВВП і дати його прогноз для України в близькому майбутньому – на два роки. Для даних, що включають щорічно прогноз буде на 2 роки, а для поквартальних даних на 6 кварталів або 1,5 роки.
Постановка задачі
Регресійний аналіз — розділ математичної статистики, присвячений методам аналізу залежності однієї величини від іншої. На відміну від кореляційного аналізу не з’ясовує чи істотний зв’язок, а займається пошуком моделі цього зв’язку, вираженої у функції регресії.
Авторегресійна (AR) модель — модель часових рядів, в якій значення часового ряду в даний момент лінійно залежать від попередніх значень цього ж ряду. Авторегресійний процес порядку р (AR(р)-процес) - визначається таким чином [2]:
де а,...ар – параметри моделі (коефіцієнти авторегресії);
с – постійна;
– значення часового ряду в момент ;
– білий шум.
Автокореляційну функцію (АКФ) та часткову автокореляційну функцію (ЧАКФ) використовують для визначення попередньої оцінки порядку авто регресійної частини моделі, тобто скільки затриманих в часі значень потрібно брати для опису процесу. При цьому необхідно врахувати, що АКФ дає менш «чітку» оцінку порядку моделі, ніж ЧАКФ.
Вибіркова АКФ обчислюється за виразом:
де – значення ряду, для якого будується модель в момент ,
- вибіркова дисперсія змінної ;
– довжина вибірки;
- середнє значення вибірки даних.
На відміну від АКФ, ЧАКФ між значеннями та включає вплив величин та , що означає, що ЧАКФ чіткіше відображає зв’язок між окремими значеннями основної змінної.
ЧАКФ обчислюється наступним методом за допомогою АКФ:
де – значення АКФ для лагу ,
– значення ЧАКФ.
АКФ та ЧАКФ в даному дослідженні застосовувались для вибору оптимального порядку моделей.
Термін ковзне середнє означає, що множина значень, які усереднюють, безупинно рухається в часі. Ковзна середня відображає тенденцію зміни цін і згладжує їхні несуттєві коливання. На ринках, де яскраво виражена цінова тенденція відсутня, ковзна середня, як правило, змінюється в деякому горизонтальному діапазоні.
Загальна формула для зваженого ковзного середнього:
де – розмір вікна ковзного середнього;
– вагові коефіцієнти;
– часовий ряд вхідних даних.[2]
Таблиця 1. Використані показники якості моделей та прогнозів [3]
Коефіцієнт детермінації |
|
Сума квадратів похибок моделі |
|
Статистика Дарбіна-Уотсона |
|
Критерій Акайке |
|
Абсолютна середня похибка |
|
Абсолютна середня похибка в процентах |
|
Середньоквадратична похибка |
|
Коефіцієнт нерівності Тейла |
Формування ВВП в Україні з 2000 – 2015 рр.
Для побудови математичної моделі скористаємось рядом значень ВВП який складається з 64-х значень та рядом з 64 значень чистого експорту, що буде використано при побудові множинної регресії(рис. 2).
Рисунок 1 - Зображення поквартальних даних ВВП в Україні
Статистичні критерії побудованих моделей (табл. 2-4):
Таблиця 2. Критерії адекватності для побудованих моделей
Тип моделі |
SSE |
Крит. Акайке |
Коефієнт Д-В |
|
AR(5) |
0,914 |
6,01E+10 |
23,80 |
2,18 |
ARMA(5,4) |
0,965 |
2,46E+10 |
23,02 |
2,02 |
AR(5)+trend |
0,944 |
3,93 E+10 |
23,41 |
1,84 |
ARMA(5,5)+trend |
0,976 |
1,67E+10 |
22,67 |
1,93 |
AR(1) + Y(ne) |
0,930 |
5,50E+10 |
23,63 |
2,27 |
AR(1) + Y(ne) +LAG1(ne) |
0,941 |
4,68E+10 |
23,50 |
2,27 |
AR(4) + Y(ne) |
0,975 |
1,82E+10 |
22,62 |
0,63 |
AR(4) + Y(ne) +LAG1(ne) |
0,975 |
1,78E+10 |
22,63 |
0,75 |
AR(4) + Y(ne) +trend |
0,982 |
1,29E+10 |
22,31 |
0,99 |
AR(4) + Y(ne) +LAG1(ne) +trend |
0,982 |
1,29E+10 |
22,35 |
1,02 |
Таблиця 3. Критерії якості прогнозу при статичному прогнозуванні на 6 кроків вперед
Тип моделі |
RMSE |
MAE |
MAPE |
Theil |
AR(5) |
69487 |
60910 |
12,92 |
0,075 |
ARMA(5,4) |
46919 |
39623 |
8,00 |
0,050 |
AR(5)+trend |
74568 |
66348 |
13,32 |
0,082 |
ARMA(5,5)+trend |
52606 |
44007 |
8,60 |
0,057 |
AR(1) + Y(ne) |
89543 |
78788 |
16,13 |
0,100 |
AR(1) + Y(ne) +LAG1(ne) |
63183 |
53078 |
11,37 |
0,068 |
AR(4) + Y(ne) |
78656 |
65968 |
12,91 |
0,088 |
AR(4) + Y(ne) +LAG1(ne) |
74268 |
61549 |
12,01 |
0,082 |
AR(4) + Y(ne) +trend |
86434 |
71400 |
13,88 |
0,097 |
AR(4) + Y(ne) +LAG1(ne) +trend |
84833 |
69869 |
13,57 |
0,095 |
Таблиця 4. Критерії якості прогнозу при динамічному прогнозуванні на 6 кроків вперед
Тип моделі |
RMSE |
MAE |
MAPE |
Theil |
AR(5) |
116176 |
95512 |
18,38 |
0,133 |
ARMA(5,4) |
99351 |
73952 |
13,83 |
0,112 |
AR(5)+trend |
91106 |
75439 |
14,63 |
0,102 |
ARMA(5,5)+trend |
86713 |
62094 |
11,46 |
0,096 |
AR(1) + Y(ne) |
179776 |
151866 |
29,54 |
0,222 |
AR(1) + Y(ne) +LAG1(ne) |
109932 |
88835 |
17,06 |
0,125 |
AR(4) + Y(ne) |
93982 |
76128 |
14,75 |
0,106 |
AR(4) + Y(ne) +LAG1(ne) |
89026 |
71522 |
13,85 |
0,100 |
AR(4) + Y(ne) +trend |
91049 |
73500 |
14,16 |
0,102 |
AR(4) + Y(ne) +LAG1(ne) +trend |
89706 |
72273 |
13,92 |
0,101 |
З наведених значень статистичних критеріїв якості видно, що найвдалішими для короткострокового прогнозування є моделі ARMA(5,4) та ARMA(5,5)+trend.
Тому моделі ARMA(5,4) та ARMA(5,5)+trend перерахуємо на цілій вибірці і дамо прогноз на 6 кварталів вперед (тобто на 1,5 роки) (рис. 2 та 3).
Рисунок 2 – Прогноз за допомогою ARMA(5,4)
Рисунок 3 – Прогноз за допомогою ARMA(5,5)+trend
Прогнозування з використанням щорічних даних реального ВВП:
Рисунок 4 – Дані для прогнозування з кроком в один рік
Було взято для моделювання ряди рівня інфляції, відсотку державного боргу до ВВП, власне ряд реального ВВП в цінах 2005 року та показники рівня безробіття. При моделювання уніваріантивних моделей ВВП використовувалися дані з 1996, а мультиваріативних – з 1997 до 2013 років.
Отримали такі результати (тут і далі: i – рівень інфляції; u – рівень безробіття; d – рівень державного боргу) (табл. 5-7):
Таблиця 5. Критерії адекватності для побудованих моделей
|
SSE |
Крит. Акайке |
Коефієнт Д-В |
|
AR(1) |
0,881 |
82945 |
11,50 |
1,30 |
ARMA(1,1) |
0,900 |
69531 |
11,43 |
2,07 |
AR(1)+trend |
0,898 |
71407 |
11,46 |
1,19 |
ARMA(1,1)+trend |
0,920 |
55913 |
11,32 |
1,83 |
Y(i,u,d) |
0,930 |
44541 |
11,18 |
1,59 |
Y(i,u,d)+LAG1(i,u,d) |
0,980 |
11234 |
10,27 |
2,11 |
Y(i,u)+LAG1(u,d) |
0,978 |
12396 |
10,12 |
1,92 |
AR(1)+Y(i,u) +LAG1(u,d) |
0,983 |
9524 |
9,98 |
2,52 |
AR(1)+Y(i,u) +LAG1(u,d) +trend |
0,985 |
8338 |
9,97 |
2,42 |
Таблиця 6. Критерії якості прогнозу при статичному прогнозуванні на 2 кроки вперед
|
RMSE |
MAE |
MAPE |
Theil |
AR(1) |
101,5 |
100,0 |
9,99 |
0,048 |
ARMA(1,1) |
74,1 |
74,1 |
7,33 |
0,035 |
AR(1)+trend |
168,6 |
165,7 |
16,55 |
0,077 |
ARMA(1,1)+trend |
144,5 |
143,4 |
14,28 |
0,067 |
Y(i,u,d) |
134,5 |
97,1 |
10,08 |
0,063 |
Y(i,u,d)+LAG1(i,u,d) |
86,5 |
79,5 |
8,04 |
0,042 |
Y(i,u)+LAG1(u,d) |
95,4 |
77,4 |
7,95 |
0,046 |
AR(1)+Y(i,u) +LAG1(u,d) |
83,1 |
71,6 |
7,31 |
0,040 |
AR(1)+Y(i,u) +LAG1(u,d) +trend |
132,6 |
101,9 |
10,52 |
0,062 |
Таблиця 7. Критерії якості прогнозу при динамічному прогнозуванні на 2 кроки вперед
|
RMSE |
MAE |
MAPE |
Theil |
AR(1) |
150,1 |
139,2 |
14,06 |
0,069 |
ARMA(1,1) |
135,6 |
125,4 |
12,67 |
0,063 |
AR(1)+trend |
227,5 |
213,4 |
21,52 |
0,101 |
ARMA(1,1)+trend |
228,7 |
212,0 |
21,41 |
0,102 |
Y(i,u,d) |
Немає динаміки |
|||
Y(i,u,d)+LAG1(i,u,d) |
Немає динаміки |
|||
Y(i,u)+LAG1(u,d) |
Немає динаміки |
|||
AR(1)+Y(i,u) +LAG1(u,d) |
77,3 |
67,4 |
6,86 |
0,037 |
AR(1)+Y(i,u) +LAG1(u,d) +trend |
131,7 |
101,3 |
10,45 |
0,062 |
Найкращі моделі: авторегресія з ковзним середнім порядку(1,1) та авторегресія порядку 1 з множинною регресією з використанням інфляції та безробіття та першим лагом безробіття і рівня боргу.
Оскільки остання модель не має динаміки, то побудуємо прогноз моделі авторегресії з ковзним середнім порядку (1,1) (рис. 5):
Рисунок 5 – Прогноз за допомогою ARMA(1,1)
Прогноз на 2016 рік - падіння ВВП на 3,0%, а на 2017 – зростання на 1,0%.
Аналіз отриманих результатів. Загальний висновок по прогнозних здатностях моделей для прогнозу з кроком в один рік такий: моделі з трендом показали найгірші результати ( бо в ряді ВВП тренд вище першого порядку); найкращі - авторегресія з ковзним середнім порядку(1,1) та авторегресія порядку 1 з множинною регресією з використанням інфляції та безробіття та першим лагом безробіття і рівня боргу.
Для моделей по поквартальних даних:
Досить гарно пояснюють дані моделі ARMA(5,4) та ARMA(5,5)+trend. Вони мають високий коефіцієнт детермінації при близьких до 2 значеннях статистики Дарбіна-Ватсона, що означає слабку кореляцію залишків. Також відзначимо, що моделі AR(4) з множинною регресією мають високий коефіцієнт детермінації та порівняно малу суму квадратів похибок, але дуже корельовані залишки. З статистик прогнозів видно, що найбільш адекватними є моделі ARMA(5,4) та ARMA(5,5)+trend, а найгірше справилась AR(1) з множинною регресією (чистий експорт).
Висновки. В результаті виконання дослідження проведено серйозну роботу з вивчення теоретичної бази необхідної для роботи з часовими рядами. Розглянуто та використано для аналізу результатів – основні критерії якості для оцінювання моделей опису процесів та якості прогнозування. Вибрано критерії: критерій Дарбіна-Уотсона, коефіцієнт детермінації, критерій суми квадратів похибок моделі тощо.
Побудовано майже два десятки моделей для опису процесу ВВП в EViews. За отриманими статистики вибрано чотири моделі, які використані для прогнозування ВВП України в близькому майбутньому. Прогнози, побудовані за різними моделями для економіки України на 2016-2017 роки спільні в тому, що на нашу державу не чекає ні різке, економічне пожвавлення, ні різкий спад, а , скоріше відносно невеликі прорости або падіння.
Отже, результати даного дослідження будуть корисними для прийняття оптимальних управлінських рішень щодо економіки України. В майбутньому можливо буде доопрацювати і покращити наявний програмний продукт, а також побудувати моделі за більшою кількістю даних, щоб дати ще кращі прогнози.
Література: