Выпуск №7 (Май)
XLIV Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 30.10.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XLIІI Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 29.08.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XLIІI Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 30.07.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XLII Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 27.06.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XLI Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 30.05.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XL Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 28.03.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

МНПК "Цифровая трансформация и инновации в экономике, праве, государственном управлении, науке и образовательных процессах", 18-21.03.2019

XXXIX Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 27.02.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XIII Международная научно-практическая конференция «Научный диспут: вопросы экономики и финансов», 31.01.2019 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

XXXVIII Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 30.01.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XXXVІI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.12.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XXXVI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.11.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XIII Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и финансов», 31.10.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

XXXV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.10.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XXXIV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.09.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХXXIII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.08.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХXXII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 31.07.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XII Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и финансов», 31.07.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХXXI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.06.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХІ Международная научно-практическая конференция «Глобальные проблемы экономики и финансов», 31.05.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

XXХ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.05.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XXIХ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.04.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХХVIІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.03.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ІІІ МНПК "Экономика, финансы и управление в XXI веке: анализ тенденций и перспективы развития", 19-22.03.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

X Международная научно-практическая конференция «Глобальные проблемы экономики и финансов», 28.02.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХХVІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 27.02.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХХVІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.01.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XІІ Международная научно-практическая конференция «Научный диспут: вопросы экономики и финансов», 29.12.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХХV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.12.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХХІV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.11.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XI Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и финансов», 31.10.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

XІ Международная научно-практическая конференция «Научный диспут: вопросы экономики и финансов», 29.09.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХХIІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.09.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

X Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и финансов», 31.07.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХXII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.07.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХXI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.06.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

IX Международная научно-практическая конференция «Глобальные проблемы экономики и финансов», 31.05.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХX Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.05.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

"Тенденции развития национальных экономик: экономическое и правовое измерение" 18-19.05.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом и ККИБиП)

ХIX Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 27.04.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

IX Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 31.03.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХVIII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.03.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

МНПК "Экономика, финансы и управление в XXI веке: анализ тенденций и перспективы развития", 20–23.03.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

VIII Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 28.02.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХVII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 27.02.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VIII Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 31.01.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХVI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.01.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.12.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VIII Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 28.12.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

VII Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 30.11.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХІV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.11.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VII Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 31.10.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХІІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.10.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VII Международная научно-практическая конф. «Научный диспут: вопросы экономики и финансов», 30.09.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.09.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XI Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 30.08.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ІV Международная научно-практическая конф. "Экономика и управление в XXI веке: анализ тенденций и перспектив развития", 29.07.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

X Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 28.07.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 30.06.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ІX Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 29.06.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VI Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 31.05.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

VIIІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 30.05.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

V Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 29.04.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

VIІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 28.04.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 31.03.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ІI Международная научно-практическая конф. "Экономика и управление в XXI веке: анализ тенденций и перспектив развития", 30.03.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

V Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 21-24.03.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

V Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 26.02.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

II Международная научно-практическая конференция: "Научный диспут: актуальные вопросы медицины" 20.02.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ІV Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 29.12.2015 (Совместная конференция с Международным научным центром)

IV Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 28.12.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

IV Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 30.11.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

IV Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 29.10.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

Международная научно-практическая конференция: "Научный диспут: актуальные вопросы медицины" 28.10.2015 (Совместная конференция с Международным научным центром)

III Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 30.09.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

III Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 31.08.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ІІІ Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 30.06.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ІІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 29.06.2015 (Совместная конференция с Международным научным центром)

II Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 28.05.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

Актуальные проблемы экономики и финансов, 29.04.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

Научный диспут: вопросы экономики и финансов, 31.03.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

Актуальные проблемы современной науки, 27.03.2015 (Совместная конференция с Международным научным центром)

Глобальные проблемы экономики и финансов, 27.02.2015 (Совместная конференция с финансово-экономическим научным советом)



Аннотация. В работе изучена задача с начальными условиями для уравнения балки с заделанными концами. Задача решалась двумя способами: в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций одномерной спектральной задачи и при помощи конечно-разностных аппроксимаций получено численное решение. Получено количественное совпадение результатов численных и аналитических расчетов деформации балки.

Ключевые слова: колебание балки, уравнение Эйлера, начально-граничные условия.


Отрасль науки: Физико - математические науки
Скачать статью (pdf)

Физико-математические науки

УДК 517.95

Акимов А.А.

доцент, к.ф.-м.н., кафедра математического анализа

 Стерлитамакский филиал  БашГУ

Абдуллина Р.И.

магистр

 Стерлитамакский филиал  БашГУ

Akimov A.A.

Bashkir state university Sterlitamak branch

Abdullina R. I.

Master, Bashkir state university Sterlitamak branch

 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ БАЛКИ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ

MATHEMATICAL MODELING OF THE DEFORMATION OF THE BEAM WITH CLAMPED-CLAMPED ENDS

Аннотация. В работе изучена задача с начальными условиями для уравнения балки с заделанными концами. Задача решалась двумя способами: в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций одномерной спектральной задачи и при помощи конечно-разностных аппроксимаций получено численное решение. Получено количественное совпадение результатов численных и аналитических расчетов деформации балки.

Ключевые слова: колебание балки, уравнение Эйлера, начально-граничные условия.

Summary. The paper deals with a problem with initial conditions for a beam equation with embedded ends. The problem was solved in two ways: as a sum of the Fourier series in the system of eigenfunctions of a one-dimensional spectral problem, and using finite-difference approximations, a numerical solution was obtained. The quantitative coincidence of the results of numerical and analytical calculations of beam deformation is obtained.

Key words: oscillations of a beam, the Euler equation, the initial-boundary conditions.

Многие задачи о колебаниях стержней, балок и пластин, которые имеют большое значение в строительной механике, приводят к дифференциальным уравнениям более высокого порядка, чем уравнение струны. В данной работе мы рассмотрим нелинейное уравнение поперечных колебаний упругой балки

                                                                                       (1)

в цилиндрической область, где, r – плотность материала балки; h– толщина балки, E – модуль Юнга; – момент сечения балки – длина балки. Рассмотрим колебания балки с закрепленными концами. В этом случае граничные условия будут иметь вид

                                   (2)

а начальные условия

                                             (3)

Решение задачи (1) - (3) будем искать в классе . Для обоснования корректности поставленной задачи применим методы спектрального анализа. Разделяя переменные, получим следующую спектральную задачу:

                                                          (4)

                                                       (5)

Найдем собственные значения и соответствующие им функции поставленной задачи. Пусть. Тогда общее решение  уравнения (5) определим в следующем виде:

                               (6)

где – произвольные постоянные. Удовлетворяя функцию (6) первым двум условиям из (5) , находим Тогда функция (6) примет вид

                                (7)

Удовлетворяя функцию (7) двум последним граничным условиям из (5), получим

                                       (8)

Приравнивая определитель этой системы к нулю, получим трансцендентное уравнение

                                 (9)

Приравнивая определитель системы к нулю, получаем трансцендентное уравнение

                                                                              (10)

для вычисления собственных значений. В работе [1] установлено, что

                                                                     (11)

При этом при больших n справедлива асимптотическая формула

                                                                             (12)

Из системы (8) с учетом условия (10) выразим неизвестные коэффициенты и подставим  в (7). В результате найдем соответствующую систему собственных функций

                  (13)

или

                                        (13)

Следуя работе [1], введем функции

                                                                             (14)

где

                                                                            (15)

Тогда решение задачи (1) - (3)  примет вид [1]

                                                                    (16)

где

                                               (17)

                                       (18)

Наряду с точным аналитическим решением задачи (1)-(3) рассмотрим численное решение этой задачи методом конечных разностей.

Область изменения переменных разобьем прямымы и на прямоугольную сетку. Значения в узлах сетки обозначим с помощью индексов , а производные заменим разностными отношениями:

                                        (15)

                                 (16)

                  (17)

 Тогда уравнение (1) аппроксимируется следующей явной трехслойной схемой, имеющий второй порядок точности по обеим переменным [2]:

             (18)

Обозначим и перепишем уравнение (18) в виде

                   (18)

Расчет сеточных уравнений (18) выполнен при помощи метода семиточечной прогонки. Разработанные алгоритмы численно реализованы в среде Mathcad.

Литература:

  1. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами / Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2015. Т. 19. № 2 (39). С. 311-324.
  2. Самарский А.А. Введение в численные методы: Учебное пособие для вузов по специальности «Прикладная математика». М. : Наука, 1987. 286 с.
  3. Акимов А.А. О единственности решения задачи типа Неймана для уравнения Чаплыгина / Вестник Московского государственного областного университета. 2013.  №4. С. 38.
  4. Акимов А.А., Абдуллина Р.И. Решение задачи Дарбу для телеграфного уравнения с отходом от характеристики / Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2015.  №4. С. 29-35.
  5. Akimov A., Galiaskarova G. The solution of the Darboux problem for the telegrath equation with deviation from the characteristic  / International Journal of  Pure and Applied Mathematics. 2015. T. 103. № 2. C. 377-383.
  6. Akimov A. On uniqueness Morawetz problem for the Chaplygin equation / International Journal of  Pure and Applied Mathematics. 2014. T. 97. № 3. C. 369-375.