Калашникова К. Е., Лысак Л. Е., Рыльцев Е. В. Математическое обеспечение аксонометрического ортогонального проецирования // Международный научный журнал "Интернаука". - 2018. - №11. https://doi.org/10.25313/2520-2057-2018-11-3961
Физико-математические науки
УДК 514.1
Калашникова Лариса Евгеньевна
кандидат биологических наук,
доцент кафедры биомедицинской инженерии
Национальный технический университет Украины
«Киевский политехнический институт имени Игоря Сикорского»
Kalashnikova Larysa
PhD in Biology, Assistant Professor of the
Department of Biomedical Engineering
National Technical University of Ukraine
«Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute»
Лысак Кристина Евгеньевна
художник
Национальный драматический театр имени Леси Украинки
Lysak Kristina
Аrtist
Lesya Ukrainka Natsіonal Dramatic Theater
Рыльцев Евгений Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры графического дизайна
Межрегиональная академия управления персоналом
Ryltcev Evgehiy
Doctor of Physical and Mathematical Sciences,
Professor of the Department of Graphic Design
Interregional Academy of Personnel Management
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКОГО ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ
MATHEMATICAL SUPPORT OF AXONOMETRIC ORTHOGONAL PROJECTION
Аннотация. Проведен анализ эволюции прямоугольного координатного тригранника ортогональной аксонометрической изометрии в его различные формы, соответствующие ортогональной диметрии. Это позволило в наглядной форме наблюдать динамику изменения коэффициентов искажения по координатным осям при аксонометрическом проецировании.
Ключевые слова: аксонометрия, ортогональность, проецирование.
Summary. The analysis of the evolution of a rectangular trihedron orthogonal axonometric isometric view in its various forms, corresponding to the orthogonal diameters. This enabled to observe the dynamics of change in distortion factor of the coordinate axes in the axonometric projection.
Key words: axonometry, orthogonal, projection.
Освоение учебной дисциплины "ортогональная аксонометрия" осложняется тем, что её исходные посылки подаются, чаще всего, в декларативной форме или, в лучшем случае, со ссылкой на труднодоступные источники [1-5]. Настоящим мы постарались исправить сложившуюся ситуацию, базируясь исключительно на правилах элементарной геометрии с тригонометрией [6; 7].
Как известно, аксонометрия - это набор способов отображения на плоскости (в двумерном пространстве) какого-либо природного тримерного объекта. Его положение в пространстве и его размеры определяются системой декартовых координат. При этом плоскость аксонометрической проекции "сечёт", в общем случае, прямоугольный координатный тригранник произвольно, что выражается в соотношении длин его координатных осей: (рис.1). В результате образовавшийся треугольник следов [1-5] может принимать произвольную форму. То есть, его стороны могут быть связаны неравенством. Это вид проекции – аксонометрическая триметрия. Единственным ограничивающим условием в случае ортогональной аксонометрии является направление отрезка – перпендикуляра из начала координат О на аксонометрическую плоскость проекции в точку - ортоцентр [6; 7] треугольника чем и задаётся направление проецирующих лучей в данном виде аксонометрического отображения.
Из рис.1 следует, что, поскольку плоскости проведены так, что они перпендикулярны плоскости то именно углы определяют коэффициенты искажений (К) по координатным ося То есть. Но так как углы и неодинаковы, то Именно этот факт соответствует триметрической аксонометрии. Справедливым остаётся и обобщающее уравнение [1–5].
Чтобы выявить в этом случае некоторые количественные угловые соотношения рассмотрим образованный в результате сечения координатного тригранника плоскостью проходящей через координатную ось и перпендикуляр к аксонометрической плоскости проекций.
Рис. 1. Ортогональная триметрическая аксонометрия [cos2ai = (n/m)z,y,x]
Названый треугольник состоит из двух других треугольников, что можно выразить так: Поскольку соответствующие углы обозначенных треугольников взаимно равны (рис.1), то это значит, что Тогда можно записать: Если принять, что n/m (назовём эту пропорцию "высотной"), то или же Но Значит . Величины можно получить аналогичным путём, рассматривая треугольники. Тогда значения при условии их взаимного неравенства.
В случае изометрической аксонометрии её исходным параметрическим соотношением служит равенство: (рис.2). Отсюда следует, что. То есть, треугольник – равносторонний треугольник. Известно [6; 7], что в таком треугольнике точка делит его высоты (биссектрисы, медианы) в отношении (Если учесть, что (это очевидно из рис.2), и соответственно, то. Тогда при условии, что
Рис. 2. Ортогональная изометрическая аксонометрия [cos2a = (n/m)z,y,x=2/3]
Угловые соотношения аксонометрической диметрии = )] удобно расcматривать в процессе эволюции "изометрического" координатного тригранника (рис.2). Такую эволюцию можно представить в двух вариантах. Один из них (рис.3) предполагает, что "высотная пропорция" - варьирует следующим образом: . Тогда углы в прямоугольном триграннике изменяются в интервалах соответственно
Другой вариант эволюции изометрического координатного тригранника реализуется (рис.4) в случае, при котором "высотная пропорция" стрeмится к 0 от своего "изометрического" значения, то есть, А для углов интервалами изменений являются соответственно интервалы -
Первый вариант эволюции изометрического координатного тригранника может быть реализован двумя cпособами. Один из них – это, когда точка Тогда сторона тригранника стороны и остаются нeизменными, отрезок координатная ось стремится к параллельности со следом плоскости и, наконец, когда стороны становятся взаимно параллельными.
Второй способ реализации того же варианта эволюции изометрического тригранника (рис.2) возможен, если при (рис.3).Тогда а .
Оба указаные способы первого варианта эволюции имеют следствием (рис.3):
Из последней записи следует: То есть, при таком варианте эволюции аксонометрической изометрии (рис.2) мы получаем аксонометрическую диметрию (рис. 3),при которой коэффициенты искажений по координатным осям изменяются в диапазонах: и
Рис. 3. Ортогональная аксонометрическая диметрия при < 1
Второй вариант эволюции изометрического координатного тригранника (рис.2) в аксонометрическую диметрию (рис.4), как и первый вариант, также может быть реализован двумя способами. Один из них предполагает следующие этапы: точка c) = (OX = OY) → ∞ при = OZ = const и При этом следы сечений и стремятся ко взаимной параллельности так же, как и стороны стремятся к параллельности со сторонами
Второй способ реализации второго варианта эволюции изометрической формы координатного изометрического тригранника (рис.2) в диметрию предполагает процессы (рис.4): При этом
Рис. 4. Ортогональная аксонометрическая диметрия при 0 < (n/m)ZR £ 2/3
Выше обозначеные переходы имеют следствием (рис.4):
Полученная таким образом аксонометрическая диметрия характеризуется коэффициентами координатно – осевых искажений, изменяющимися в интервалах: и .
Найденные интервалы изменений коэффициентов искажений по осям координат аксонометрической ортогональной диметрии можно получить также и из формул функциональной взаимозависимости соответствующих углов в прямоугольном координатном тетраэдре (рис.3; 4). А именно, и Эти формулы выведены, исходя из свойств треугольников: и (рис.3;4). Однако результаты таких формальных расчётов теряют структурную наглядность динамики изменений коэффициентов искажений по сравнению с результатами анализа эволюционных изменений прямоугольного координатного тетраэдра аксонометрической изометрии, представленного на рис.2. Действительно, если принять во внимание, что изменение коэффициентов искажений во всём своём диапазоне развивается за четверть периода косинусоидальной гармоники при то из «эволюционного анализа» с отчётливостью следует, что от 0 до 1 изменяется при этом лишь коэффициент, тогда как коэффициенты изменяются в интервале - (1; 0,71). В самом деле, eсли и при то (рис.4). В случае же при и имеем > 0,71 (рис.3).
Представленные выше аналитические выражения угловых взаимозависимостей аксонометрии могут быть записаны и через параметр , а именно: и Удобство такой формы записи заключается в том, что для практического использования угловые измерения заменены здесь более простыми линейными измерениями длин отрезков (“n” или “m”) соответствующих высот треугольника следов - , определяемых положением его ортоцентра - . С помощью параметра можно также однозначно определить и углы между аксонометрическими осями координат (рис.2-4). Для этого исходными параметрами могут быть произвольно выбранные высота (или – рис.2) треугольника следов и положениe на ней ортоцентра - .Тогда сам строится по трём точкам: одна из них- его вершина Z (X или Y - рис.2), а две другие - это концы его стороны. В полученном таким образом (рис. 2-4) углы всех “категорий” автоматически принимают значения, соответствующие заданным параметрам рассмотренных выше способов аксонометрического проецирования.
При аксонометрической триметрии коэффициенты искажений - определяются через параметр по каждой координатной оси независимо друг от друга, но в зависимости от положения их ортоцентра - на плоскости треугольника следов - (рис.1).
Таким образом, в настоящем изложении использование предложенного здесь параметра - "высотная пропорция" позволяет представить материал об ортогональной аксонометрии в достаточно наглядной и компактной форме, что облегчает его освоение с целью дальнейшего его практического использования.
Литература
