Кочарли А.Ф., Алиев Н.Я. Теорема вложения для Вр. // Международный научный журнал "Интернаука". - 2018. - №19.
Физико-математические науки
УДК 517.9
Кочарли Акиф Фирудин
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры “Алгебра и геометрия”
Бакинский государственный университет
Kocharli Akif
Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor of the Department of Algebra and Geometry
Baku State University
Алиев Наджаф Ядулла
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры “Алгебра и геометрия”
Бакинский государственный университет
Aliyev Najaf
Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Associate Professor of the Department of Algebra and Geometry
Baku State University
ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ ДЛЯ
THEOREM FOR THE
Аннотация. В данной статье доказывается весовая теорема вложения из класса в области с границей, удовлетворяющей условию Гельдера.
Ключевые слова: Гельдер, Минковский, финитность.
Summary. In this paper we prove a weighted embedding theorem from Besov class in a domain with a nonsmooth boundary.
Key words: Helder, Minkowski, finiteness.
Постановка проблемы. Доказательство весовых теорем вложений в области с негладкой границей представляет определённую трудность. Известно, что такие области удовлетворяют и “условию рога”,т.е. если принадлежит области произвольная точка рога, то При доказательстве теорем вложения используется интегральное представление функций.
Актуальность проблемы. Доказательство новых теорем вложений для различных классов функций дают достаточно полное представление о различных связях между весовыми пространствами при различных соотношениях индексов.
Цели и задачи. Целью данной работы является получить весовую теорему вложения функций из класса в области с негладкой границей.
Через будем обозначать область - мерного эвклидова пространства вида
где функция, описывающая уравнение границы, удовлетворяет условию Гельдерa -неотрицательные,
Пусть для области выполнено условие где знаком обозначена арифметическая сумма двух множеств.
Теорема. Пусть
- целые
Тогда и имеет место оценка причём не зависит от
Доказательство. В силу условий теоремы
Зафиксируем Докажем теорему сначала для случая
Используя оценку из подсчитывая степень при вычисляя норму, меняя порядок интегрирования и применяя неравенство Минковского находим
Здесь
Отсюда, делая элементарные преобразования, находим
Займёмся оценкой Используя оценку
интегрируя по, подсчитав степень при, получаем
Отсюда, по неравенству Минковского, затем по оценке для свёртки, находим
Рассмотрим теперь
Используя оценку из неравенства Гельдера с показателями и,которое применим и интегралу по,используя оценку 14 из получаем
Так как интегрирования по в правой части последнего выражения проводится фактически по ограниченному рогу то очевидно, что мы только увеличим её записав это выражение в виде
Правая часть последнего неравенства совпадает с правой частью оценки 15 из поэтому
Аналогично получаем оценку
Таким образом, собирая оценки, находим при
Пусть теперь Тогда из имеем
Дословное повторение схемы доказательства оценки для приводит нас к следующим оценкам
откуда
Теорема доказана.
Замечание. Данная теорема доказана в непредельном случае, т.е.
Заметим, что при эта теорема неверна даже в невесомом случае при При эта теорема имеет место для
Доказана также .
Теорема. Пусть
Тогда и имеет место неравенство
причем не зависит от
Литература
