Сардарлы Н. А. Исследование напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропного конуса с закрепленной боковой поверхностью // Международный научный журнал "Интернаука". - 2018. - №19.
Физико-математические науки
УДК 539.3
Сардарлы Назанин Азизагаевна
кандидат физико-математических наук,
преподаватель кафедры «Алгебра и геометрия»
Бакинский государственный университет
Sardarly Nazanin
Candidate of Physical and Mathematical Sciences,
Teacher of the Department of Algebra and Geometry
Baku State University
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО КОНУСА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
STUDY OF A STRESSED-DEFORMED STATE OF A TRANSVERSE-ISOTROPICCONE WITH A FIXED SIDE SURFACE
Аннотация. Методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости изучается осесимметричная задача теории упругости для однородной трансверсально-изотропной конической оболочки. Раскрыты особенности напряженно-деформируемого состояния трансверсально-изотропной конической оболочки переменной толщины.
Ключевые слова: асимптотический метод, анизотропия, однородные решения, краевой эффект и т.д.
Summary. The method of asymptotic integration of the equations of the elasticity theory is used to study the axis-symmetric problem of the elasticity theory for a homogeneous transversely-isotropic conic shell. The features of the stress-strain state of a transversely-isotropic conic shell of variable density are revealed.
Key words: asymptotic method, anisotropy, homogeneous solutions, boundary effect, etc.
Постановка проблемы. В работе рассмотрена краевая задача линейной теории упругости для трансверсально-изотропного полого конуса. Конус отнесен к сферической системе координат. Боковая поверхность конуса жестко заделана:
Граничные условия на торцах конуса будем считать таковыми, что оболочка находится в равновесии.
Актуальность проблемы. Несмотря на развитие многосторонних исследований по статике тонких упругих оболочек, проблема создания точных и эффективных методов расчета оболочек продолжает сохранять свою актуальность. Одним из способов упрощения трехмерной краевой задачи является понижение размерности, которое может быть проведено, например, при учете малости каких-либо параметров, входящих в задачу. Понижение размерности при этом может быть осуществлено при помощи методов асимптотического анализа, заменяющих традиционные гипотезы теории оболочек. Чтобы рассчитать на прочность детали, сделанные из анизотропных материалов и испытывающие упругие деформации, необходимо теоретически определить напряжения и деформации в анизотропных телах. При решении задач подобного рода возникают значительные математические трудности, связанные с увеличением числа параметров. Вопрос о соотношении двумерных теорий и соответствующих трехмерных задач анизотропной теории упругости для оболочек переменной толщины не изучен.
Цели и задачи метода. Целью данной работы является подробное исследование поведения спектра основных краевых задач, когда боковая поверхность конуса жестко заделана. В работе использован асимптотический метод интегрирования.
Введение. Как известно, среди других упругих областей, ограниченных координатными поверхностями, четыре классические системы координат конической оболочки являются наиболее сложными для исследования и наиболее интересными в отношении результатов исследований. Объектом исследования являются уравнения, не поддающиеся решению с помощью стандартных методов, или отличающиеся громоздкостью стандартного решения.
Целью данной работы является подробное исследование поведения спектра основных краевых задач, когда боковая поверхность конуса жестко заделана.
Для достижения поставленной цели в данной работе рассмотрен и применен на практике один из вариантов асимптотического метода на основе метода однородных уравнений.
Практическая значимость работы состоит в том, что получены достаточно простые асимптотические формулы, позволяющие рассчитать напряженно-деформированное состояние конической оболочки переменной толщины.
Использование асимптотического метода интегрирования на основе метода однородных решений
Используя результаты работ [1; 2] и удовлетворяя однородные граничные условия, получена линейная система уравнений:
(1)
(2)
Необходимым и достаточным условием существования нетривиальных решений системы (1) является равенство нулю определителя системы. Раскрывая определитель, получено характеристическое уравнение:
Предполагая, что оболочка тонкостенная (-малый параметр), проведен анализ корней уравнения (3). Этот анализ важен, так как корнями этого детерминанта определяются однородные решения.
Трансцендентное уравнение (3) определяет счетное множество корней, а соответствующие им постоянные пропорциональны алгебраическим дополнениям элементов какой-либо строки определителя системы. При малых и конечных можно представить в виде
(3)
Положим
(4)
где угол раствора срединной поверхности оболочки, безразмерный параметр, характеризующий её толщину. Ниже будем предполагать, что малый параметр, а
Подставляя (4) в (3) получим
Относительно корней функции можно сформулировать следующие утверждения.
Утверждение: Функция имеет три группы корней:
Доказано, что все остальные нули функции стремятся к бесконечности при
Их можно разбить на три группы в зависимости от их поведения при Возможны следующие предельные соотношения:
Пусть главный член асимптотики имеет вид
Будем искать в виде следующего разложения
(5)
где
Для построения асимптотики нулей в случае при отыскиваем в виде
Характер корней существенно влияет на общую картину напряженно-деформированного состояния оболочки.
Рассмотрим следующие возможные случаи:
В случаях 1), 2)
(6)
длсоответственно получаем.
(7)
(8)
Результаты для случаев 3), 4) получаются из случаев 1), 2) заменой соответственно на
Эти уравнения совпадают с уравнениями, определяющими показатели краевых эффектов Сен-Венана в теории трансверсально-изотропных плит.
Асимптотика корней получена в работе [2]. Характер корней существенно влияет на общую картину напряженно-деформированного состояния оболочки.
Приведено асимптотическое построение однородных решений, соответствующих различным группам корней характеристического уравнения.
Литература
