Выпуск №12 (Декабрь)
XLII Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 27.06.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XLI Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 30.05.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XL Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 28.03.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

МНПК "Цифровая трансформация и инновации в экономике, праве, государственном управлении, науке и образовательных процессах", 18-21.03.2019

XXXIX Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 27.02.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XIII Международная научно-практическая конференция «Научный диспут: вопросы экономики и финансов», 31.01.2019 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

XXXVIII Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 30.01.2019 (Совместная конференция с Международным научным центром развития науки и технологий)

XXXVІI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.12.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XXXVI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.11.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XIII Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и финансов», 31.10.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

XXXV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.10.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XXXIV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.09.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХXXIII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.08.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХXXII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 31.07.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XII Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и финансов», 31.07.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХXXI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.06.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХІ Международная научно-практическая конференция «Глобальные проблемы экономики и финансов», 31.05.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

XXХ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.05.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XXIХ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.04.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХХVIІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.03.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ІІІ МНПК "Экономика, финансы и управление в XXI веке: анализ тенденций и перспективы развития", 19-22.03.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

X Международная научно-практическая конференция «Глобальные проблемы экономики и финансов», 28.02.2018 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХХVІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 27.02.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХХVІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.01.2018 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XІІ Международная научно-практическая конференция «Научный диспут: вопросы экономики и финансов», 29.12.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХХV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.12.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХХІV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.11.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XI Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и финансов», 31.10.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

XІ Международная научно-практическая конференция «Научный диспут: вопросы экономики и финансов», 29.09.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХХIІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.09.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

X Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и финансов», 31.07.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХXII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.07.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХXI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.06.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

IX Международная научно-практическая конференция «Глобальные проблемы экономики и финансов», 31.05.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХX Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.05.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

"Тенденции развития национальных экономик: экономическое и правовое измерение" 18-19.05.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом и ККИБиП)

ХIX Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 27.04.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

IX Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 31.03.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХVIII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.03.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

МНПК "Экономика, финансы и управление в XXI веке: анализ тенденций и перспективы развития", 20–23.03.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

VIII Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 28.02.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХVII Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 27.02.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VIII Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 31.01.2017 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХVI Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 30.01.2017 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ХV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.12.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VIII Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 28.12.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

VII Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 30.11.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХІV Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.11.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VII Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 31.10.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХІІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 28.10.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VII Международная научно-практическая конф. «Научный диспут: вопросы экономики и финансов», 30.09.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ХІІ Международная научно-практическая конференция: "Актуальные проблемы современной науки", 29.09.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

XI Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы современной науки», 30.08.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ІV Международная научно-практическая конф. "Экономика и управление в XXI веке: анализ тенденций и перспектив развития", 29.07.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

X Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 28.07.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 30.06.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ІX Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 29.06.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VI Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 31.05.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

VIIІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 30.05.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

V Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 29.04.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

VIІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 28.04.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

VІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 31.03.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ІI Международная научно-практическая конф. "Экономика и управление в XXI веке: анализ тенденций и перспектив развития", 30.03.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

V Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 21-24.03.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

V Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 26.02.2016 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

II Международная научно-практическая конференция: "Научный диспут: актуальные вопросы медицины" 20.02.2016 (Совместная конференция с Международным научным центром)

ІV Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 29.12.2015 (Совместная конференция с Международным научным центром)

IV Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 28.12.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

IV Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 30.11.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

IV Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 29.10.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

Международная научно-практическая конференция: "Научный диспут: актуальные вопросы медицины" 28.10.2015 (Совместная конференция с Международным научным центром)

III Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 30.09.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

III Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и финансов", 31.08.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ІІІ Международная научно-практическая конференция "Научный диспут: вопросы экономики и финансов", 30.06.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

ІІ Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы современной науки", 29.06.2015 (Совместная конференция с Международным научным центром)

II Международная научно-практическая конференция "Глобальные проблемы экономики и финансов", 28.05.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

Актуальные проблемы экономики и финансов, 29.04.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

Научный диспут: вопросы экономики и финансов, 31.03.2015 (Совместная конференция с Финансово-экономическим научным советом)

Актуальные проблемы современной науки, 27.03.2015 (Совместная конференция с Международным научным центром)

Глобальные проблемы экономики и финансов, 27.02.2015 (Совместная конференция с финансово-экономическим научным советом)



Аннотация. В данной работе показано, что при определенных условиях на начальные данные, бесконечная связанная система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями эквивалентная начально-граничной задаче для уравнения балки имеет решение. Методом энергетических неравенств доказывается, что обсуждаемая бесконечная система квазилинейных уравнений имеет решение. Полученных результатов достаточно, чтобы доказать существование решения начально-граничной задачи для уравнения балки.

Ключевые слова: уравнение колебания балки, квазилинейное уравнение, метод энергетических неравенств.


Отрасль науки: Физико - математические науки
Скачать статью (pdf)

Физико-математические науки

УДК 517.95

Акимов Андрей Анатольевич

кандидат физико-математических наук,

Стерлитамакский филиал БашГУ

Агафонова Алена Александровна

 студент, Стерлитамакский филиал БашГУ

Akimov A.A.

Bashkir state university Sterlitamak branch

Agafonova A.A.

Bashkir state university Sterlitamak branch

ОБ ОДНОМ ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ЭНЕГЕТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БАЛКИ

Аннотация. В данной работе показано, что при определенных условиях на начальные данные, бесконечная связанная система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями эквивалентная начально-граничной задаче для уравнения балки имеет решение. Методом энергетических неравенств доказывается, что обсуждаемая бесконечная система квазилинейных уравнений имеет решение. Полученных результатов достаточно, чтобы доказать существование решения начально-граничной задачи для уравнения балки.

Ключевые слова: уравнение колебания балки, квазилинейное уравнение, метод энергетических неравенств.

Summary: In this paper it is shown that under specified conditions on the initial data a certain infinite coupled system of ordinary differential equations has a solution satisfying an auxiliary convergence condition. The infinite system discussed is essentially the Galerkin expansion of the solution to a given quasi-linear e equation. The results obtained suffice to prove the existence of a solution to this equation of oscillations of a beam.

Keywords: quasi-linear wave equation, method of energy inequalities, equation of oscillations of a beam.

  1. Введение.

Целью данной работы является доказательство существования решения для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений    

где  которые удовлетворяют начальным данным

(1.2)                             

и дополнительному условию

Бесконечная система (1.1) связана с квазилинейным уравнением

(1.4)                  

На самом деле, чтобы доказать существование решения задачи (1.1), удовлетворяющего (1.2) и (1.3), достаточно доказать существование классического решения (1.4), удовлетворяющего начальным данным и граничным условиям

(1.6)               

В нашем случае достаточно заметить, что если уравнение (1.4) имеет достаточно дифференцируемое решение, удовлетворяющее граничным условиям (1.6), то это решение может быть записано в виде

Систему уравнений (1.1) можно получить,  формально подставив ряд Фурье в (1.4), умножив на   и, проинтегрировав полученное выражение от 0 до π. Похожие результаты для более элементарных уравнений  были получены ранее в работах  [1] , [2] также поставленные проблемы  обсуждались в работах [3], [4] и [5].  Вопрос существования решений уравнения вида (1.4) рассматривался в [7], [8] и [9].

  1. Существование.  

Для того, чтобы доказать существование решения (1.1) удобно начать с обсуждения соответствующих конечных систем уравнений. Определим функции , как решения системы.

Существование решения системы (2.1) следует из теоремы Пикара, так как правая часть удовлетворяет условию Липшица(постоянная Липшица зависит от N).

Поэтому можно использовать метод последовательных приближений для доказательства существования локального  решения  (см. [6]), а продолжение решения для всех  следует из того факта, что система (2.1) является Гамильтоновой системой, т. е. решения (2.1) удовлетворяют энергетическому тождеству.

Указанная выше процедура не может быть применена непосредственно к бесконечной системе (1.1). Таким образом, необходимо показать, что решение конечной системы (2.1) сходится к решению бесконечной системы (1.1) при

Если  сходится как , т.е. если то из (2.2) следует, что  и  равномерно ограниченны независимо от N. Тогда, из леммы Арцела -Асколи (см. [6]) следует, что на любом замкнутом полуинтервале  (  достаточно большое) существует подпоследовательность  которая сходится равномерно к непрерывной функции  на интервале  Для того, чтобы доказать, что функции  является решениями (1.1) необходимо получить более точные оценки для функций  чем следует из их энергетических равенств (2.2). Необходимые оценки можно получить путем умножения (2.1) на  и суммированием по всем j. Результирующее выражение может быть записано в виде   

Уравнения (2.5) и (2.8) означают, что решения системы (2.1) удовлетворяют тождеству

Далее оценим правую часть (2.10) через интеграл энергии. Отметим что, поскольку, то из теоремы Ролля следует существование точек  и  таких, что

Неравенства (2.11), (2.12) и (2.13) дают точную оценку  через интеграл энергии . Таким образом

Первый член в правой части (2.9) может быть оценен как          

Второй член в правой части (2.9) после интегрирования по частям будет иметь оценку    

Учитывая неравенство (2.15) и (2.16) тождество (2.9) может быть заменено на следующее неравенство

Неравенство (2.17) дает требуемую оценку .

Лемма 1. Предположим

т.е., что  сходится при . Тогда равномерно ограничена независимо от  N на любом сегменте  где

Доказательство. Неравенство (2.20) эквивалентно

 (2.21)                             

Лемма вытекает после взятия предела  при . ч.т.д.

Оценка является ключевым моментом в доказательстве того, что функции т.е. пределы подпоследовательности , являются решениями (1.1). На самом деле этот результат является следствием следующих двух лемм, которые мы приведем без доказательства:

Лемма 2. Если (см. (2.21)), то бесконечный ряд сходится в промежутке

Лемма 3. Если  то функции  и   сходятся к  и , при  для любого t в промежутке

Теорема 1. Функции  это решения системы уравнений (1.1), удовлетворяющие начальным условиям (1.2) и  условию (1.3) в интервале  если

Доказательство. Функции  удовлетворяют интегральному уравнению Вольтерра

для  Покажем, что функции  удовлетворяет аналогичному уравнению. Справедливы следующие оценки

(2.25) 

Правая часть (2.25) стремится к нулю при . Поэтому   имеет вид

(2.26)                                           

Дифференцируя последнее равенство, приходим к требуемому утверждению.

Список литературы

  1. Сабитов К.Б. Колебания балки с заделанными концами / Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2015. Т. 19. № 2 (39). С. 311-324.     
  2. Сабитов К.Б. Начально-граничная задача для уравнения колебания балки / В сборнике: Математические методы и модели в строительстве, архитектуре и дизайне Самарский государственный архитектурно-строительный университет. Самара, 2015. С. 34-42.   
  3. Акимов А.А., Агафонова А.А. О нулях решений нелинейного уравнения колебания балки / Высшая школа. 2015. № 22. С. 44-46.   
  4. Акимов А.А., Абдуллина Р.И., Чернов И.Г. О некоторых оценках для нелинейного уравнения колебания балки / Журнал научных и прикладных исследований. 2015. № 12. С. 172-175.        
  5. Акимов А.А., Абдуллина Р.И. Об одном нелинейном уравнении затухающих колебаний балки / Журнал научных и прикладных исследований. 2015. № 11. С. 156-159.  
  6. Абдуллина Р.И., Акимов А.А. Об одной граничной задаче для уравнения колебания балки / Высшая школа. 2016. № 18. С. 60-63.   
  7. R. Narasimha, Non-linear vibrations of an elastic string, J. Sound. Vib. 8 (1968),134-146.
  8. S. Woinowsky-Krieger, The effect of axial force on the vibration of hinged bars, J.Appl. Mech. 17 (1950), 35-36.
  9. R. W. Dickey, Free vibrations and dynamic buckling of the extensible beam, J.Math. Anal. Appl. 29 (1970), 443-454.
  10. J. M. Ball, Initial boundary value problems for an extensible beam, J. Math. Anal.Appl. Volume 42, Issue 1, April 1973, Pages 61-90.